| Àlgebra tensorial. |
Producte tensorial d'espais vectorials. (r,s)-Tensors r-covariants i s-contravariants. Contracció tensorial. p-Tensors alternats. Producte exterior. Orientació. Interpretació geomètrica dels tensor alternats. |
| Varietats diferenciables. |
Espais localment euclidians. Varietats topològiques. Recobriments localment finits, espais paracompactes. Cartes C^k relacionades, atles equivalents, estructures C^k diferenciables, varietats diferenciables. Funcions diferenciables entre varietats, difeomorfismes. Particions de la unitat. Vector tangent i espai tangent. Diferencial d'una aplicació entre varietats. Camps vectorials i derivació de Lie de camps. Camps (r,s)-tensorials r-covariants i s-contravariants sobre varietats. p-Formes diferencials. Diferencial exterior de p-formes. Imatge inversa d'una p-forma diferencial per una aplicació entre varietats. |
| Geometria Riemanniana. |
Camp (2,0)-tensorial mètric i varietats (semi-) riemannianes. Casos particulars d'una subvarietat parametritzada de R^n amb la mètrica estàndard, i d'una superfície parametritzada, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Longitud de corba d'una varietat. Connexions lineals (connexions de Koszul) de varietats, símbols de Christoffel. Primera aproximació a la propagació de la connexió lineal a les capes de p-formes diferencials i (r,s)-camps tensorials. Derivació covariant de camps al llarg de corbes segons la connexió lineal. Connexió de Levi-Civita. Transport paral·lel al llarg d'una corba. Geodèsiques. Camp (2,0)-tensorial de torsió, i la seva expressió en cartes locals. Camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, la seva expressió en cartes locals, i les seves interpretacions geomètriques.
|
| Curvatura. |
Primera identitat de Bianchi. Camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann sobre varietats riemannianes qualssevol, i propietats. Definició especial de curvatura k_p, usant el (4,0)-camp tensorial de curvatura de Riemann, en el cas particular de superfície parametritzada, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Segona forma fonamental, curvatures normals, endomorfisme de Weingarten i curvatura K de Gauss de superfícies, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Coincidència, K=k_p, de la curvatura de Gauss amb la curvatura de Riemann. Teorema egregium de Gauss i equació de Gauss per a la curvatura K. Definició de curvatura k_p de Gauss per a una 2-varietat riemanniana qualsevol mitjançant el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Aplicació exponencial geodèsica. Extensió de la curvatura k_p de Gauss amb l'exponencial geodèsica a curvatures seccionals d'una varietat riemanniana qualsevol. Obtenció de les curvatures seccionals amb el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Reconstrucció del camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann mitjançant les curvatures seccionals. Camp (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci com a contracció del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, expressió en cartes locals. Camp de curvatura escalar com a contracció del camp (1,1)-tensorial de curvatura de Ricci i expressió en cartes locals. Interpretació geomètrica de la curvatura escalar amb el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann, i la seva interpretació des del punt vista de la diferència amb la geometria d'Euclides. Propagació de la connexió lineal a totes les capes tensorials; camp (r+1,s)-tensorial diferencial covariant d'un altre camp (r,s)-tensorial. Propietats, i expressió en cartes locals, de la propagació a totes les capes tensorials de la derivació covariant. Camp (r,s-1)-tensorial divergència d'un altre camp (r,s)-tensorial. Camp (r-1,0)-tensorial divergència d'un altre camp (r,0)-tensorial. Camp (4,1)-tensorial diferencial covariant del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann; i segona identitat de Bianchi. Camp (1,0)-tensorial divergència del producte del camp de curvatura escalar pel camp (2,0)-tensorial mètric; diferencial de camp de curvatura escalar. Camp (3,0)-tensorial diferencial covariant del camp (2,0)-tensorial mètric. Camp (1,0)-tensorial divergència del camp (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci; camp (1,0)-tensorial divergència del camp (2,0)-tensorial d'Einstein. Teorema-definició del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann en relació al fet de que si el tipus de geometria sobre la varietat verifica localment els postulats de la Geometria d'Euclides o no els verifica.
|
Assignatures
