Guia docent 2009_10 Escola Tècnica Superior d'Enginyeria

Enginyeria Tècnica en Informàtica de Gestió (1998)

Continguts

Tema	Subtema
Conjunts	Conjunts i elements. Determinació d’un conjunt. Representació gràfica de conjunts. Igualtat de conjunts. Relació d’inclusió. Unió i intersecció de conjunts. Complementari d’un conjunt. Diferència de conjunts. Diferència simètrica. Conjunt de les parts d’un conjunt. Partició d’un conjunt. Parell ordenat d’elements. Producte cartesià de conjunts.
Relacions binàries	Correspondència entre dos conjunts. Representació gràfica de correspondències.Correspondència recíproca d'una correspondència. Relacions binàries. Propietats que pot tenir una relació binària. Relacions binàries d'equivalència ( R. B. E. ). Classes d'equivalència. Conjunt quocient.Propietats de les classes d'equivalència. Exemples
Aplicacions	Correspondència unívoca. Correspondència biunívoca. Definició d'aplicació. Igualtat d'aplicacions. Imatge d'un conjunt per una aplicació. Imatge recíproca d'un conjunt. Restricció d'una aplicació a un subconjunt. Relació d'equivalència associada a una aplicació. Tipus d'aplicacions. Aplicacions particulars. Aplicació inversa. Composició d'aplicacions. Propietats de la composició d'aplicacions. Descomposició canònica d'una aplicació.
Operacions	Definició d'operació interna en un conjunt. Definició d'operació externa en un conjunt. Operacions en general. Propietats que pot verificar una operació interna.Elements notables que pot tenir una operació interna. Subconjunts estables per una operació interna. Operacions induïdes. Permanència de propietats i elements notables al passar a la part estable. Operacions internes compatibles amb relacions d'equivalència. Permanència de propietats i elements notables al conjunt quocient.Parts estables per una operació externa. Operacions externes compatibles amb relacions d'equivalència. Morfismes. Descomposició canònica d'un morfisme.
Grups	Definició de grup. Propietats generals dels grups. Potenciació en un grup multiplicatiu. Multiplicació en un grupadditiu. Subgrups. Propietats generals dels subgrups. Caracterització dels subgrups. Intersecció de subgrups. Subgrup engendrat per un element. Subgrup engendrat per un subconjunt. Classes laterals segons un subgrup. Grup quocient en un grup commutatiu. Grup quocient d'un grup no commutatiu per un subgrup normal. Grups monògens. Grups cíclics. Ordre o període d'un element d'un grup. Morfisme de grups. Descomposició canònica d'un morfisme de grups.
Anells i cossos	Definició d'anell. Propietats generals dels anells. Divisors de zero. Anells d'Integritat. Subanells. Ideals. Anell quocient. Morfisme d'anells. Descomposició canònica d'un morfisme d'anells. Definició de cos. Propietats dels cossos. Subcossos.
Espais vectorials	Definició. Primeres propietats dels espais vectorials. Subespais vectorials. Suma de subespais vectorials. Suma directa. Dependència lineal de vectors. Combinacions lineals. Subespai engendrat per un conjunt de vectors. Teorema de Steinitz. Base d'un espai vectorial. Teorema d'existència de bases. Fórmula de Grassman. Rang d'un conjunt de vectors.
Aplicacions lineals i matrius	Definició. Teorema d'existència i unicitat d'aplicacions lineals. Propietats de les aplicacions lineals. Espai dual. Definició de matriu. Igualtat de matrius. Tipus de matrius. Suma de matrius. Producte d'un escalar per una matriu. Producte de matrius. Matriu transposta. Matriu inversa d'una matriu quadrada. Matriu associada a una aplicació lineal en unes bases determinades. Suma d'aplicacions lineals. Producte d'un escalar per una aplicació lineal. Composició d'aplicacions lineals. Anell dels endomorfismes d'un espai vectorial. Anell de les matrius quadrades. Matriu de canvi de base. Rang d'una matriu. Mètode de Gauss per buscar el rang d'una matriz.
Determinants	Preliminars. Introducció. Regla de Sarrus per calcular un determinant d'ordre 3. Propietats dels determinants. Menor complementari d'un element. Adjunt complementari d'un element. Càlcul d'un determinant a partir dels adjunts d'una fila o d'una columna. Mètode per calcular la matriu inversa utilitzant determinants. Determinant d'un conjunt de n vectors respecte d'una base. Determinant d'un endomorfisme. Característica d'una matriu.
Sistemes d’equacions lineals	Introducció. Teorema de Rouché. Mètode de Cràmer per la resolució de sistemes. Mètode de Gauss per la resolució de sistemes. Aplicació pràctica per buscar la matriu inversa.
Diagonalització	Introducció. Vectors propis i valors propis d'un endomorfisme. Polinomi característic. Caracterització dels endomorfismes diagonalitzables
Geometria Afí i Euclidiana	Espai Afí .Sistemes de referència.Canvi del sistema de referència .Rectes i plans.Producte vectorial.Producte escalar.Problemes mètrics entre rectes i plans

Competències	Objectius d'aprenentatge	Continguts
Planificació	Metodologies	Atenció personalitzada
Avaluació	Fonts d'informació	Recomanacions