|
Tipus A
|
Codi |
Competències Específiques | | | CE1 |
Integrar els fonaments de les àrees més importants de la matemàtica, la física i l'enginyeria.
|
| | CE2 |
Establir connexions entre conceptes, eines i problemes relacionats de les matemàtiques, la física i l'enginyeria. |
| | CE3 |
Utilitzar raonaments deductius i inductius per demostrar teoremes matemàtics i desenvolupar models físics de manera rigorosa. |
| | CE4 |
Interpretar les bases i estar en condicions d'aprofundir en alguns temes avançats de matemàtiques i de física d'interès pràctic industrial i per a l'enginyeria. |
| | CE9 |
Resoldre problemes d'anàlisi, equacions diferencials i mètodes numèrics, i la seva aplicació a problemes d'enginyeria. |
|
Tipus B
|
Codi |
Competències Transversals | | | CT1 |
Utilitzar informació en llengua estrangera d'una manera eficaç. |
| | CT3 |
Resoldre problemes de forma crítica, creativa i innovadora en el seu àmbit d'estudi.
|
|
Tipus C
|
Codi |
Competències Nuclears |
|
Tipus A
|
Codi |
Resultats d'aprenentatge |
| | CE1 |
Coneix la descripció bàsica de les corbes i la parametrització i fórmules de Frenet
Comprèn la descripció local de superfícies, formes fonamentals i equacions de Gauss-Weingarten
Coneix el teorema de Gauss i els conceptes de transport paral·lel i derivada covariant
Entén els conceptes de varietat diferenciable i el de camp de tensors sobre una varietat
Coneix els camps de tensors simples i el tensor de curvatura
Coneix algunes de les aplicacions més importants de la geometria diferencial a problemes de la física i l'enginyeria
| | | CE2 |
Entén els conceptes de varietat diferenciable i el de camp de tensors sobre una varietat
Coneix els camps de tensors simples i el tensor de curvatura
| | | CE3 |
Coneix algunes de les aplicacions més importants de la geometria diferencial a problemes de la física i l'enginyeria
| | | CE4 |
Coneix algunes de les aplicacions més importants de la geometria diferencial a problemes de la física i l'enginyeria
| | | CE9 |
Coneix les propietats globals de les corbes planes. Teorema de les rotacions
Coneix el concepte de superfície orientada i la definició geomètrica d'àrea
|
|
Tipus B
|
Codi |
Resultats d'aprenentatge |
| | CT1 |
Utilitza informació en llengua estrangera d'una manera clara i eficaç
| | | CT3 |
Identifica la situació plantejada com un problema en l'àmbit de la disciplina i té la motivació per afrontar
Segueix un mètode sistemàtic per dividir el problema en parts, identifica les causes i aplica els coneixements propis de la disciplina
Dissenya una solució nova utilitzant els recursos necessaris per afrontar el problema
Inclou els aspectes concrets de la solució proposada en un model realista
Reflexiona sobre el model proposat i és capaç de trobar limitacions i proposar millores
|
|
Tipus C
|
Codi |
Resultats d'aprenentatge |
| Tema |
Subtema |
| Introducció. |
Des del triedre de Frenet-Serret al camp (1,0)-tensorial divergència del camp (2,0)-tensorial d'Einstein. |
| Àlgebra tensorial. |
Producte tensorial d'espais vectorials. (r,s)-Tensors r-covariants i s-contravariants. Contracció tensorial. p-Tensors alternats. Producte exterior. Orientació. Interpretació geomètrica dels tensor alternats. |
| Geometria diferencial de R^n amb la mètrica estàndard. |
Connexió lineal (connexió de Koszul) de R^n amb la mètrica estàndard. Producte de Lie de camps vectorials. Connexió lineal de Levi-Civita de R^n amb la mètrica estàndard. Interpretació geomètrica de la derivació de Lie. p-Formes diferencials, diferencial exterior, diferencial interior. Imatge inversa d'una p-forma diferencial per una aplicació. |
| Varietats diferenciables. |
Espais localment euclidians. Varietats topològiques. Recobriments localment finits, espais paracompactes. Cartes C^k relacionades, atles equivalents, estructures C^k diferenciables, varietats diferenciables. Funcions diferenciables entre varietats, difeomorfismes. Particions de la unitat. Vector tangent i espai tangent. Diferencial d'una aplicació entre varietats. Camps vectorials i derivació de Lie de camps. Camps (r,s)-tensorials r-covariants i s-contravariants sobre varietats. p-Formes diferencials. Diferencial exterior de p-formes. Imatge inversa d'una p-forma diferencial per una aplicació entre varietats. |
| Geometria Riemanniana. |
Camp (2,0)-tensorial mètric i varietats (semi-) riemannianes. Casos particulars d'una subvarietat parametritzada de R^n amb la mètrica estàndard, i d'una superfície parametritzada, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Longitud de corba d'una varietat. Connexions lineals (connexions de Koszul) de varietats, símbols de Christoffel. Primera aproximació a la propagació de la connexió lineal a les capes de p-formes diferencials i (r,s)-camps tensorials. Derivació covariant de camps al llarg de corbes segons la connexió lineal. Connexió de Levi-Civita. Transport paral·lel al llarg d'una corba. Geodèsiques. Camp (2,0)-tensorial de torsió, i la seva expressió en cartes locals. Camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, la seva expressió en cartes locals, i les seves interpretacions geomètriques.
|
| Curvatura. |
Primera identitat de Bianchi. Camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann sobre varietats riemannianes qualssevol, i propietats. Definició especial de curvatura k_p, usant el (4,0)-camp tensorial de curvatura de Riemann, en el cas particular de superfície parametritzada, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Segona forma fonamental, curvatures normals, endomorfisme de Weingarten i curvatura K de Gauss de superfícies, amb la seva mètrica induïda, de R³ amb la mètrica estàndard. Coincidència, K=k_p, de la curvatura de Gauss amb la curvatura de Riemann. Teorema egregium de Gauss i equació de Gauss per a la curvatura K. Definició de curvatura k_p de Gauss per a una 2-varietat riemanniana qualsevol mitjançant el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Aplicació exponencial geodèsica. Extensió de la curvatura k_p de Gauss amb l'exponencial geodèsica a curvatures seccionals d'una varietat riemanniana qualsevol. Obtenció de les curvatures seccionals amb el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Reconstrucció del camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann mitjançant les curvatures seccionals. Camp (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci com a contracció del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, expressió en cartes locals. Camp de curvatura escalar com a contracció del camp (1,1)-tensorial de curvatura de Ricci i expressió en cartes locals. Interpretació geomètrica de la curvatura escalar amb el camp (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann, i la seva interpretació des del punt vista de la diferència amb la geometria d'Euclides. Propagació de la connexió lineal a totes les capes tensorials; camp (r+1,s)-tensorial diferencial covariant d'un altre camp (r,s)-tensorial. Propietats, i expressió en cartes locals, de la propagació a totes les capes tensorials de la derivació covariant. Camp (r,s-1)-tensorial divergència d'un altre camp (r,s)-tensorial. Camp (r-1,0)-tensorial divergència d'un altre camp (r,0)-tensorial. Camp (4,1)-tensorial diferencial covariant del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann; i segona identitat de Bianchi. Camp (1,0)-tensorial divergència del producte del camp de curvatura escalar pel camp (2,0)-tensorial mètric; diferencial de camp de curvatura escalar. Camp (3,0)-tensorial diferencial covariant del camp (2,0)-tensorial mètric. Camp (1,0)-tensorial divergència del camp (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci; camp (1,0)-tensorial divergència del camp (2,0)-tensorial d'Einstein. Teorema-definició del camp (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann en relació al fet de que si el tipus de geometria sobre la varietat verifica localment els postulats de la Geometria d'Euclides o no els verifica.
|
| Tres temes per a la Matrícula d'honor. |
1.- Teorema de Stokes-Cartan.
2.- Teorema de Gauss-Stokes-Cartan.
3.- Teorema de Gauss-Bonnet. |
| Metodologies :: Proves |
| |
Competències |
(*) Hores a classe
|
Hores fora de classe
|
(**) Hores totals |
| Activitats Introductòries |
|
1 |
0 |
1 |
| Sessió Magistral |
|
36 |
60 |
96 |
| Resolució de problemes, exercicis a l'aula ordinària |
|
12 |
31 |
43 |
| Atenció personalitzada |
|
1 |
0 |
1 |
| |
| Proves de desenvolupament |
|
8 |
0 |
8 |
| Proves orals |
|
1 |
0 |
1 |
| |
(*) En el cas de docència no presencial, són les hores de treball amb suport vitual del professor.
(**) Les dades que apareixen a la taula de planificació són de caràcter orientatiu, considerant l’heterogeneïtat de l’alumnat |
Metodologies
| |
Descripció |
| Activitats Introductòries |
Explicacions generals introductories que el professor farà del contingut del curs. |
| Sessió Magistral |
Explicacions que el professor farà del contingut de curs. |
| Resolució de problemes, exercicis a l'aula ordinària |
Exposicions que podran fer els alumnes, de manera voluntària i presencial, d'aquells problemes i exercicis que hagin resolt de la llista proposada pel professor. |
| Atenció personalitzada |
Consultes que els alumnes podran fer, de manera personal i individual, al professor en el seu despatx. |
|
Descripció |
|
Consultes que els alumnes podran fer, de manera personal i individual, al professor en el seu despatx. Serà en l'horari de
consultes del professor; i la manera de fixar el moment de les consultes
serà amb la petició de les mateixes directament al professor en
l’horari de classes o a través del seu correu electrònic. |
|
Metodologies |
Competències
|
Descripció |
Pes |
|
|
|
|
| Proves de desenvolupament |
|
Dos exàmens parcials, amb part de Teoria sense apunts de classe, i part de Problemes amb formulari. Cada examen parcial tindrà el 50% i el 50% de pes en la nota global, respectivament. Sense aparells electrònics. Presencial. |
100% |
| Proves orals |
|
Aquells que, havent obtingut en la nota de la primera convocatòria del curs un excel·lent, desitgin optar per la Matrícula d'honor: hauran de presentar un dossier escrit, referent a un dels tres temes proposats per a la Matrícula d'honor, i a més hauran de defensar-ho en prova oral sobre pissarra. Sense aparells electrònics. Presencial. |
|
| Altres |
|
|
|
| |
|
Altres comentaris i segona convocatòria |
|
La segona convocatòria consta d'un examen, amb part de Teoria sense apunts de classe, i part de Problemes amb formulari. Tindrà el 100% de pes en
la nota global. Sense aparells electrònics. Presencial. |
| Bàsica |
Michael Spivak, A comprehensive introduction to Differential Geometry (5 volume set)., Publish or Perish, Inc., Third edition, 1999.
|
|
| Complementària |
Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics., Taylor & Francis group, LLC., Second edition, 2003.
|
|
| Assignatures que es recomana haver cursat prèviament |
| ÀLGEBRA LINEAL/17274001 | | ANÀLISI MATEMÀTICA I/17274002 | | ANÀLISI MATEMÀTICA II/17274005 | | EQUACIONS DIFERENCIALS I/17274006 | | GEOMETRIA/17274008 |
|
(*)La Guia docent és el document on es visualitza la proposta acadèmica de la URV. Aquest document és públic i no es pot modificar, llevat de casos excepcionals revisats per l'òrgan competent/ o degudament revisats d'acord amb la normativa vigent |
|