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Tipo A
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Código |
Competencias Específicas | | | CE1 |
Integrar los fundamentos de las áreas más importantes de la matemática, la física y la ingeniería.
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| | CE2 |
Establecer conexiones entre conceptos, herramientas y problemas relacionados de las matemáticas, la física y la ingeniería.
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| | CE3 |
Utilizar razonamientos deductivos e inductivos para demostrar teoremas matemáticos y desarrollar modelos físicos de manera rigurosa.
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| | CE4 |
Interpretar las bases y estar en condiciones de profundizar en algunos temas avanzados de matemáticas y de física de interés práctico industrial y para la ingeniería.
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| | CE9 |
Resolver problemas de análisis, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos, y su aplicación a problemas de ingeniería.
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Tipo B
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Código |
Competencias Transversales | | | CT1 |
Utilizar información en lengua extranjera de una manera eficaz.
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| | CT3 |
Resolver problemas de forma crítica, creativa e innovadora en su ámbito de estudio.
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Tipo C
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Código |
Competencias Nucleares |
| Resultados de aprendizaje |
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Tipo A
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Código |
Resultados de aprendizaje |
| | CE1 |
Conoce la descripción básica de las curvas y la parametrización y fórmulas de Frenet
Comprende la descripción local de superficies, formas fundamentales y ecuaciones de Gauss-Weingarten
Conoce el teorema de Gauss y los conceptos de transporte paralelo y derivada covariante
Entiende los conceptos de variedad diferenciable y el de campo de tensores sobre una variedad
Conoce los campos de tensores simples y el tensor de curvatura
Conoce algunas de las aplicaciones más importantes de la geometría diferencial a problemas de la física y la ingeniería
| | | CE2 |
Entiende los conceptos de variedad diferenciable y el de campo de tensores sobre una variedad
Conoce los campos de tensores simples y el tensor de curvatura
| | | CE3 |
Conoce algunas de las aplicaciones más importantes de la geometría diferencial a problemas de la física y la ingeniería
| | | CE4 |
Conoce algunas de las aplicaciones más importantes de la geometría diferencial a problemas de la física y la ingeniería
| | | CE9 |
Conoce las propiedades globales de las curvas planas. Teorema de las rotaciones
Conoce el concepto de superficie orientada y la definición geométrica de área
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Tipo B
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Código |
Resultados de aprendizaje |
| | CT1 |
Utiliza información en lengua extranjera de una manera clara y eficaz
| | | CT3 |
Identifica la situación planteada como un problema en el ámbito de la disciplina y tiene la motivación para afrontarlo.
Sigue un método sistemático para dividir el problema en partes, identifica las causas y aplica los conocimientos propios de la disciplina.
Diseña una solución nueva utilizando los recursos necesarios para afrontar el problema
Incluye los aspectos concretos de la solución propuesta en un modelo realista.
Reflexiona sobre el modelo propuesto y es capaz de encontrar limitaciones y proponer mejoras.
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Tipo C
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Código |
Resultados de aprendizaje |
| tema |
Subtema |
| Introducción. |
Desde el triedro de Frenet-Serret al campo (1,0)-tensorial divergencia del campo (2,0)-tensorial de Einstein. |
| Álgebra tensorial. |
Producto tensorial de espacios vectoriales. (r,s)-Tensores r-covariantes y s-contravariantes. Contracción tensorial. p-Tensores alternados. Producto exterior. Orientación. Interpretación geométrica de los tensores alternados. |
| Geometría diferencial de R^n con la métrica estándar. |
Conexión lineal (conexión de Koszul) de R^n con la métrica estándar. Producto de Lie de campos vectoriales. Conexión lineal de Levi-Civita de R^n con la métrica estándar. Interpretación geométrica de la derivación de Lie. p-Formas diferenciales, diferencial exterior, diferencial interior. Imagen inversa de una p-forma diferencial por una aplicación. |
| Variedades diferenciables. |
Espacios localmente euclidianos. Variedades topológicas. Recubrimientos localmente finitos, espacios paracompactos. Cartas C^k relacionadas, atlas equivalentes, estructuras C^k diferenciables, variedades diferenciables. Funciones diferenciables entre variedades, difeomorfismos. Particiones de la unidad. Vector tangente y espacio tangente. Diferencial de una aplicación entre variedades. Campos vectoriales y derivación de Lie de campos. Campos (r,s)-tensoriales r-covariantes y s-contravariantes sobre variedades. p-Formas diferenciales. Diferencial exterior de p-formas. Imagen inversa de una p-forma diferencial por una aplicación entre variedades. |
| Geometría Riemanniana. |
Campo (2,0)-tensorial métrico y variedades (semi-) riemannianas. Casos particulares de una subvariedad parametrizada de R^n con la métrica estándar, y de una superficie parametrizada, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Longitud de curva de una variedad. Conexiones lineales (conexiones de Koszul) de variedades, símbolos de Christoffel. Primera aproximación a la propagación de la conexión lineal a las capas de p-formas diferenciales y (r,s)-campos tensoriales. Derivación covariante de campos a lo largo de curvas según la conexión lineal. Conexión de Levi-Civita. Transporte paralelo a lo largo de una curva. Geodésicas. Campo (2,0)-tensorial de torsión, y su expresión en cartas locales. Campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, su expresión en cartas locales, y sus interpretaciones geométricas. |
| Curvatura. |
Primera identidad de Bianchi. Campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann sobre variedades riemannianas cualesquiera, y propiedades. Definición especial de curvatura k_p, usando el (4,0)-campo tensorial de curvatura de Riemann, en el caso particular de superficie parametrizada, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Segunda forma fundamental, curvaturas normales, endomorfismo de Weingarten y curvatura K de Gauss de superficies parametrizadas, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Coincidencia, K=k_p, de la curvatura de Gauss con la curvatura de Riemann. Teorema egregium de Gauss y ecuación de Gauss para la curvatura K. Definición de curvatura k_p de Gauss para una 2-variedad riemanniana cualquiera mediante el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Aplicación exponencial geodésica. Extensión de la curvatura k_p de Gauss con la exponencial geodésica a curvaturas seccionales de una variedad riemanniana cualquiera. Obtención de las curvaturas seccionales con el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Reconstrucción del campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann mediante las curvaturas seccionales. Campo (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci como contracción del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, expresión en cartas locales. Campo de curvatura escalar como contracción del campo (1,1)-tensorial de curvatura de Ricci y expresión en cartas locales. Interpretación geométrica de la curvatura escalar con el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann, y su interpretación desde el punto vista de la diferencia con la geometría de Euclides. Propagación de la conexión lineal a todas las capas tensoriales; campo (r+1,s)-tensorial diferencial covariante de otro campo (r,s)-tensorial. Propiedades, y expresión en cartas locales, de la propagación a todas las capas tensoriales de la derivación covariante. Campo (r,s-1)-tensorial divergencia de otro campo (r,s)-tensorial. Campo (r-1,0)-tensorial divergencia de otro campo (r,0)-tensorial. Campo (4,1)-tensorial diferencial covariante del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann; y segunda identidad de Bianchi. Campo (1,0)-tensorial divergencia del producto del campo de curvatura escalar por el campo (2,0)-tensorial métrico; diferencial de campo de curvatura escalar. Campo (3,0)-tensorial diferencial covariante del campo (2,0)-tensorial métrico. Campo (1,0)-tensorial divergencia del campo (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci; campo (1,0)-tensorial divergencia del campo (2,0)-tensorial de Einstein. Teorema-definición del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann en relación a que si el tipo de geometría sobre la variedad verifica localmente los postulados de la Geometría de Euclides o no los verifica. |
| Tres temas para la Matrícula de honor. |
1.- Teorema de Stokes-Cartan.
2.- Teorema de Gauss-Stokes-Cartan.
3.- Teorema de Gauss-Bonnet. |
| Metodologías :: Pruebas |
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Competencias |
(*) Horas en clase
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Horas fuera de clase
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(**) Horas totales |
| Actividades introductorias |
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1 |
0 |
1 |
| Sesión magistral |
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36 |
60 |
96 |
| Resolución de problemas/ejercicios en el aula ordinaria |
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12 |
31 |
43 |
| Atención personalizada |
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1 |
0 |
1 |
| |
| Pruebas de desarrollo |
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8 |
0 |
8 |
| Pruebas orales |
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1 |
0 |
1 |
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(*) En el caso de docencia no presencial, serán las horas de trabajo con soporte virtual del profesor.
(**) Los datos que aparecen en la tabla de planificación son de carácter orientativo, considerando la heterogeneidad de los alumnos |
Metodologías
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descripción |
| Actividades introductorias |
Explicaciones generales introductorias que el profesor hará del contenido del curso. |
| Sesión magistral |
Explicaciones que el profesor hará del contenido de curso. |
| Resolución de problemas/ejercicios en el aula ordinaria |
Exposiciones que podran hacer los alumnos, de forma voluntaria y presencial, de aquellos problemas y ejercicios que hayan resuelto de la lista propuesta por el profesor. |
| Atención personalizada |
Consultas que los alumnos podrán hacer, de forma personal e individual, al profesor en su despacho. |
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descripción |
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Consultas que los alumnos podrán hacer, de forma personal e individual, al profesor en su despacho.
Será en el horario de consultas del profesor; y la manera de fijar el
momento de las consultas será: con la petición de las mismas
directamente al profesor en el horario de clases, o a través de su
correo electrónico. |
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Metodologías |
Competencias
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descripción |
Peso |
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| Pruebas de desarrollo |
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Dos exámenes parciales, con parte de Teoría sin apuntes de clase, y parte de Problemas con formulario. Cada examen parcial tendrá el 50% y el 50% de peso en la nota global, respectivamente. Sin aparatos electrónicos. Presencial. |
100% |
| Pruebas orales |
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Aquellos que, habiendo obtenido en la nota de la primera convocatoria del curso un excelente, deseen optar por la Matrícula de honor: habrán de presentar un dosier escrito, referente a uno de los tres temas propuestos para la Matrícula de honor, y además habrán de defenderlo en prueba oral sobre pizarra. Sin aparatos electrónicos. Presencial. |
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| Otros |
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Otros comentarios y segunda convocatoria |
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La segunda convocatoria consta de un examen, con parte de Teoría sin apuntes de clase, y parte de
Problemas con formulario. Tendrá el 100% de peso en la
nota global. Sin aparatos electrónicos. Presencial. |
| Básica |
Michael Spivak, A comprehensive introduction to Differential Geometry (5 volume set)., Publish or Perish, Inc., Third edition, 1999.
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| Complementaria |
Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics., Taylor & Francis group, LLC., Second edition, 2003.
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| Asignaturas que se recomienda haber cursado previamente |
| ÁLGEBRA LINEAL/17274001 | | ANÁLISIS MATEMÁTICO I/17274002 | | ANÁLISIS MATEMÁTICO II/17274005 | | ECUACIONES DIFERENCIALES I/17274006 | | GEOMETRÍA/17274008 |
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(*)La Guía docente es el documento donde se visualiza la propuesta académica de la URV. Este documento es público y no es modificable, excepto en casos excepcionales revisados por el órgano competente o debidamente revisado de acuerdo la normativa vigente. |
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