Guia docent 2023_24 Escola Tècnica Superior d'Enginyeria

Continguts

Tema	Subtema
El pla complex	Operacions bàsiques. Mòdul i argument. Fòrmula de DeMoivre. Exponencial i logaritme d'un número complex. Projecció estereogràfica. Topologia bàsica del pla complex.
Funció holomorfa	Definició de funció holomorfa. Regles de derivació. Equacions de Cauchy-Riemann. Exemples de funcions holomorfes. Sèries de Potències. Criteri de Weierstrass. Radi de convergència.
Corbes en el pla	Corba parametritzada. Tipus. Corbes recitificables. Corbes de classe C1 a trossos. Orientació. Longitud. Index d'una corba tancada. Cicles.
Integració complexa i teoremes de Cauchy	Integració sobre camins. Funció primitva. Teorema de Cauchy en un triangle. Teorema de Cauchy en un convex. Teorema de Cauchy en un simplement connex. Teorema de Cauchy en un cicle.
Consequències del teorema de Cauchy	Teorema de Taylor. Representació en sèrie de potències. Estimacions de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fonamental de l'Àlgebra. Teorema de Morera. Teorema del mòdul màxim. Teorema de l'aplicació oberta.
Singularitats d'un funció holmorfa i teorema dels residus	Tipus de singularitat: evitable, pol i essencial. Desenvolupament en sèrie de Laurent. Residu d'una singularitat. Càlcul del residu. Teorema dels residus. Aplicació al càlcul d'integrals.
Altres temes	Sèrie de Fourier. Teorema de l'aplicació de Riemann. Funció zeta de Riemann.