| Álgebra tensorial. |
Producto tensorial de espacios vectoriales. (r,s)-Tensores r-covariantes y s-contravariantes. Contracción tensorial. p-Tensores alternados. Producto exterior. Orientación. Interpretación geométrica de los tensores alternados. |
| Variedades diferenciables. |
Espacios localmente euclidianos. Variedades topológicas. Recubrimientos localmente finitos, espacios paracompactos. Cartas C^k relacionadas, atlas equivalentes, estructuras C^k diferenciables, variedades diferenciables. Funciones diferenciables entre variedades, difeomorfismos. Particiones de la unidad. Vector tangente y espacio tangente. Diferencial de una aplicación entre variedades. Campos vectoriales y derivación de Lie de campos. Campos (r,s)-tensoriales r-covariantes y s-contravariantes sobre variedades. p-Formas diferenciales. Diferencial exterior de p-formas. Imagen inversa de una p-forma diferencial por una aplicación entre variedades. |
| Geometría Riemanniana. |
Campo (2,0)-tensorial métrico y variedades (semi-) riemannianas. Casos particulares de una subvariedad parametrizada de R^n con la métrica estándar, y de una superficie parametrizada, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Longitud de curva de una variedad. Conexiones lineales (conexiones de Koszul) de variedades, símbolos de Christoffel. Primera aproximación a la propagación de la conexión lineal a las capas de p-formas diferenciales y (r,s)-campos tensoriales. Derivación covariante de campos a lo largo de curvas según la conexión lineal. Conexión de Levi-Civita. Transporte paralelo a lo largo de una curva. Geodésicas. Campo (2,0)-tensorial de torsión, y su expresión en cartas locales. Campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, su expresión en cartas locales, y sus interpretaciones geométricas. |
| Curvatura. |
Primera identidad de Bianchi. Campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann sobre variedades riemannianas cualesquiera, y propiedades. Definición especial de curvatura k_p, usando el (4,0)-campo tensorial de curvatura de Riemann, en el caso particular de superficie parametrizada, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Segunda forma fundamental, curvaturas normales, endomorfismo de Weingarten y curvatura K de Gauss de superficies parametrizadas, con su métrica inducida, de R³ con la métrica estándar. Coincidencia, K=k_p, de la curvatura de Gauss con la curvatura de Riemann. Teorema egregium de Gauss y ecuación de Gauss para la curvatura K. Definición de curvatura k_p de Gauss para una 2-variedad riemanniana cualquiera mediante el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Aplicación exponencial geodésica. Extensión de la curvatura k_p de Gauss con la exponencial geodésica a curvaturas seccionales de una variedad riemanniana cualquiera. Obtención de las curvaturas seccionales con el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann. Reconstrucción del campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann mediante las curvaturas seccionales. Campo (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci como contracción del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann, expresión en cartas locales. Campo de curvatura escalar como contracción del campo (1,1)-tensorial de curvatura de Ricci y expresión en cartas locales. Interpretación geométrica de la curvatura escalar con el campo (4,0)-tensorial de curvatura de Riemann, y su interpretación desde el punto vista de la diferencia con la geometría de Euclides. Propagación de la conexión lineal a todas las capas tensoriales; campo (r+1,s)-tensorial diferencial covariante de otro campo (r,s)-tensorial. Propiedades, y expresión en cartas locales, de la propagación a todas las capas tensoriales de la derivación covariante. Campo (r,s-1)-tensorial divergencia de otro campo (r,s)-tensorial. Campo (r-1,0)-tensorial divergencia de otro campo (r,0)-tensorial. Campo (4,1)-tensorial diferencial covariante del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann; y segunda identidad de Bianchi. Campo (1,0)-tensorial divergencia del producto del campo de curvatura escalar por el campo (2,0)-tensorial métrico; diferencial de campo de curvatura escalar. Campo (3,0)-tensorial diferencial covariante del campo (2,0)-tensorial métrico. Campo (1,0)-tensorial divergencia del campo (2,0)-tensorial de curvatura de Ricci; campo (1,0)-tensorial divergencia del campo (2,0)-tensorial de Einstein. Teorema-definición del campo (3,1)-tensorial de curvatura de Riemann en relación a que si el tipo de geometría sobre la variedad verifica localmente los postulados de la Geometría de Euclides o no los verifica. |
Asignaturas
